給新手的C++教學 (上冊) - 9. 函式 (Function)

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依照慣例，在本章依然要給你一個題目，然後你就會發覺需要學習某種新技能，才能有效率的寫出可以解決問題的程式碼 (?)

給你一個正整數$n$，請求出第$n$個卡特蘭數
提示：
第$n$個卡特蘭數$=C^{2n}_{n}-C^{2n}_{n+1}$
其中$C^{a}_{b}=\frac{a!}{b!(a-b)!}$
其中「$x!$」念作「$x$階層」，$x!=1*2*3*...*x=\prod_{k=1}^{x}k$

當然，$n$不能太大，否則會發生溢位 (overflow) 的情況 (甚麼是溢位？)
所以$n$的範圍會在$1\sim 6$內

卡特蘭數列：1、2、5、14、42、132、......

你的程式答對前6項了嗎？

參考程式碼：

#include<cstdio>
int main()
{
    int n;
    scanf("%d",&n);
    int a=1,b=1,c=1;
    int i=1;
    while(i<=2*n)
    {
        a=a*i;
        i=i+1;
    }
    i=1;
    while(i<=n)
    {
        b=b*i;
        i=i+1;
    }
    i=1;
    while(i<=2*n-n)
    {
        c=c*i;
        i=i+1;
    }
    int first=a/(b*c);
    a=1,b=1,c=1,i=1;
    while(i<=2*n)
    {
        a=a*i;
        i=i+1;
    }
    i=1;
    while(i<=n-1)
    {
        b=b*i;
        i=i+1;
    }
    i=1;
    while(i<=2*n-(n-1))
    {
        c=c*i;
        i=i+1;
    }
    int second=a/(b*c);
    printf("%d\n",first-second);
    return 0;
}

程式碼中，變數a、b、c分別表示$C^{a}_{b}$中的$a!$、$b!$、$(a-b)!$

當輸入$n=6$時，程式輸出第6個卡特蘭數「132」了！

你可能會覺得：程式碼好冗長呀～
然後心裡想說：等一下一定會教一個更簡單的方法
咦？XD

沒錯！
接下來，本章會教你，怎麼利用「函式 (Function)」來化簡你的程式碼！



你在算數學題目時，有用過「函數」嗎？
當我們遇到類似$y=x^3+3x+32$之類的方程式
我們可以直接令$f(x)=x^3+3x+32$
這樣一來，要表示「當$x=a$的時候，$y$的值」，我們就可以直接帥氣的使用「$f(a)$」來代替「$a^3+3a+32$」了
你看你看～「寫出『$f(a)$』」比「寫出『$a^3+3a+32$』」還要方便省力多了！
可以想像，聰明的運用「函數」可以大幅簡化你的計算過程！

當然，程式方面，也可以使用一樣的方式來簡化你的程式碼，真是太棒了！
(其實，程式的「函式」就是數學的「函數」，英文名稱都是「Function」)
趕快來看看怎麼用吧～
假設你想把函式的名稱取作「function_name」，它可以根據一個指定的int變數「a」，算出一個答案

int function_name(int a)
{
    你的程式碼
    return 算出來的答案;
}

這樣一來，如果把上述的數學題目轉換成程式題目：
令$f(x)=x^3+3x+32$，輸入$a$，請輸出$f(a)$
你的程式碼可以這樣寫：

#include<cstdio>
int f(int x)
{
    return x*x*x+3*x+32;
}
int main()
{
    int a;
    scanf("%d",&a);
    printf("%d\n",f(a));
    return 0;
}

使用「函式」的動作，我們稱作「呼叫 (Call)」
當一個函式需要額外的資訊來進行運算，我們會需要傳遞資訊 (例如「f(a)」中的「a」) 給這個函式，這些被傳遞的資訊，我們稱作「引數 (Argument)」
函式算出來的東西我們稱作「回傳值 (Return value)」，也就是程式碼中「return」後面接的東西
執行含有「return」的程式碼的動作，我們稱作「回傳 (Return)」。這時候，這個函式會立即整個結束執行，並將「回傳值」傳遞給呼叫這個函式的地方 (例如「printf("%d\n",f(a));」中的「f(a)」)

相信你已經知道要怎麼利用「函式」來化簡卡特蘭數的程式碼了
聰明的你應該知道
我們的程式碼會需要反覆執行類似下面這個動作：

int a=1,i=1;
while(i<=n)
{
    a=a*i;
    i=i+1;
}
然後把算出來的a拿來做其他事 

也就是：對於一個指定的正整數$n$，算出$n!$的值

那麼，何不乾脆寫成一個函式？
我們來把「算出$n!$的函式」命名作「Level」吧！

於是，我們就可以把程式碼改寫成這樣：

#include<cstdio>
int Level(int n)
{
    int a=1,i=1;
    while(i<=n)
    {
        a=a*i;
        i=i+1;
    }
    return a;
}
int main()
{
    int n;
    scanf("%d",&n);
    int first=Level(2*n)/(Level(n)*Level(2*n-n));
    int second=Level(2*n)/(Level(n+1)*Level(2*n-(n+1)));
    printf("%d\n",first-second);
    return 0;
}

哇賽，程式碼真的變簡單很多耶！
我們甚至省略了宣告a、b、c三個變數的過程！(分別表示$C^{a}_{b}$中的$a!$、$b!$、$(a-b)!$)
趕快來寫寫看吧～

當輸入$n=6$時，程式依然是正確地輸出「132」！

如果你夠挑剔，你可能還會覺得「每次都要把$a!$、$b!$、$(a-b)!$拿去算出$C^{a}_{b}$」好麻煩呀
能不能弄一個函式專門用來算「$C^{a}_{b}$」呢？
當然可以！
我來示範給你看：

#include<cstdio>
int Level(int n)
{
    int a=1,i=1;
    while(i<=n)
    {
        a=a*i;
        i=i+1;
    }
    return a;
}
int C(int a,int b)
{
    return Level(a)/(Level(b)*Level(a-b));
}
int main()
{
    int n;
    scanf("%d",&n);
    printf("%d\n",C(2*n,n)-C(2*n,n+1));
    return 0;
}

你也來練習看看吧！

當輸入$n=6$時，程式仍然是正確地輸出「132」！

你可能會發現：「咦？從原古時代就出現的『int main()』和函式長得好像呀」
沒錯，「main」本身就是一個函式！
這個函式的功能就和我們自己創造的函式一模一樣
那麼，這個「main函式」甚麼時候會被用到呢？
就是程式開始執行的時候

電腦第一件事就是找出名稱為「main」的函式，並開始執行這個函式的內容
因此，程式碼中不能沒有名稱為「main」的函式，否則電腦會說你的程式碼寫錯了 (不信嗎？把「main函式」改成「mian函式」再按鍵盤上的「F11」看看)

那麼「main函式」會回傳一個「0」，代表甚麼意思呢？
為甚麼電腦總是會需要main函式回傳一個數字「0」呢？
其實，別無他意，回傳值為0代表「程式正常執行完畢」
當電腦發現某個程式的「main函式回傳值」不是0的時後
代表這個程式執行到一半就發生錯誤了！

我們讓程式執行「除以零」的動作，程式就出錯了

程式出錯的方式有很多種，每一種錯誤都會導致程式回傳特定的非零數字
當我們點選「關閉程式」之後，可以看到程式的回傳值 (僅限用Dev-C++寫出來的終端機程式)
例如這個「除以零」的錯誤會得到回傳值「3221225620」

會不會覺得程式越來越好玩了呢？
有沒有寫了一堆程式碼超長的程式呢？
趕快去利用「函式」來化簡它吧！

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感謝：多多學弟
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